Encontre a derivada da função dada:

G(x) = x \* cotg^(-1)(x) + ln(raiz(1 + x^2))

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

G ' x = x cotg - 1 ⁡ x + ln ⁡ 1 + x 2 ' = x cotg - 1 ⁡ x ' + ln ⁡ 1 + x 2 '

Primeiro usamos a regra do produto no primeiro termo:

G ' x = x ' cotg - 1 ⁡ x + x cotg - 1 ⁡ x ' + ln ⁡ 1 + x 2 '

G ' x = cotg - 1 ⁡ x + x cotg - 1 ⁡ x ' + ln ⁡ 1 + x 2 '

Lembrando que

cotg - 1 ⁡ x ' = - 1 x 2 + 1

Teremos:

G ' x = cotg - 1 ⁡ x + x - 1 x 2 + 1 + ln ⁡ 1 + x 2 '

G ' x = cotg - 1 ⁡ x - x x 2 + 1 + ln ⁡ 1 + x 2 '

Temos que usar a regra da cadeia no termo que falta:

Fazendo

A x = ln ⁡ 1 + x 2

Chamei de A x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A x = g w m x

Com

g x = ln ⁡ x

w x = x

m x = 1 + x 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A ' x = g ' w m x w m x '

Vamos aplicar a regra da cadeia naquela w m x também.

A ' x = g ' w m x w ' m x m ' x

Temos

g ' x = 1 x

Então

A ' x = 1 w m x w ' m x m ' x

Passo 2

achando a derivada de w x

w x = x = x 1 2 → w ' x = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x

Vamos ter

A ' x = 1 m x 1 2 m x m ' x

A ' x = m ' x 2 m x 2

A ' x = m ' x 2 m x

Passo 3

Vamos finalizar achando a derivada de m x

m x = 1 + x 2 → m ' x = 2 x

Vamos ter

A ' x = 2 x 2 1 + x 2 = x 1 + x 2

Mas 1 + x 2 é sempre positivo, então podemos tirar o módulo

A ' x = x 1 + x 2

Passo 4

Voltando para nossa função inicial:

G ' x = cotg - 1 ⁡ x - x x 2 + 1 + x 1 + x 2

G ' x = cotg - 1 ⁡ x

Resposta

G ' x = cotg - 1 ⁡ x

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