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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 25

Encontre a derivada da função dada:

G (x) = x cotg^(- 1) x + ln sqrt(1 + x^2)

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

G^' (x) = (x cotg^(- 1) x + ln sqrt(1 + x^2))^' = (x cotg^(- 1) x)^' + (ln sqrt(1 + x^2))^'

Primeiro usamos a regra do produto no primeiro termo:

G^' (x) = (x)^' cotg^(- 1) x + x (cotg^(- 1) x)^' + (ln sqrt(1 + x^2))^'

G^' (x) = cotg^(- 1) x + x (cotg^(- 1) x)^' + (ln sqrt(1 + x^2))^'

Lembrando que

(cotg^(- 1) x)^' = - (1)/(x^2 + 1)

Teremos:

G^' (x) = cotg^(- 1) x + x (- (1)/(x^2 + 1)) + (ln sqrt(1 + x^2))^'

G^' (x) = cotg^(- 1) x - (x)/(x^2 + 1) + (ln sqrt(1 + x^2))^'

Temos que usar a regra da cadeia no termo que falta:

Fazendo

A (x) = ln sqrt(1 + x^2)

Chamei de A (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A (x) = g (w (m (x)))

Com

g (x) = ln x

w (x) = sqrt(x)

m (x) = 1 + x^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A^' (x) = g^' (w (m (x))) (w (m (x)))^'

Vamos aplicar a regra da cadeia naquela w (m (x)) também.

A^' (x) = g^' (w (m (x))) w^' (m (x)) m^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(x)

Então

A^' (x) = (1)/(w (m (x))) w^' (m (x)) m^' (x)

Passo 2

achando a derivada de w (x)

w (x) = sqrt(x) = x^((1)/(2)) -> w^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 x^((1)/(2))) = (1)/(2 sqrt(x))

Vamos ter

A^' (x) = (1)/(sqrt(m (x))) (1)/(2 sqrt((m (x)))) m^' (x)

A^' (x) = (m^' (x))/(2 sqrt((m (x))^2))

A^' (x) = (m^' (x))/(2 |m (x)|)

Passo 3

Vamos finalizar achando a derivada de m (x)

m (x) = 1 + x^2 -> m^' (x) = 2 x

Vamos ter

A^' (x) = (2 x)/(2 |1 + x^2|) = (x)/(|1 + x^2|)

Mas 1 + x^2 é sempre positivo, então podemos tirar o módulo

A^' (x) = (x)/(1 + x^2)

Passo 4

Voltando para nossa função inicial:

G^' (x) = cotg^(- 1) x - (x)/(x^2 + 1) + (x)/(1 + x^2)

G^' (x) = cotg^(- 1) x

Resposta

G^' (x) = cotg^(- 1) x

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