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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 22

Encontre a derivada da função dada:

f (t) = a sen^(- 1) (t)/(a) + sqrt(a^2 - t^2)

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

f^' (t) = (a sen^(- 1) (t)/(a) + sqrt(a^2 - t^2))^' = (a sen^(- 1) (t)/(a))^' + (sqrt(a^2 - t^2))^'

Temos que usar a regra da cadeia nos doi termos que faltam:

Fazendo

A (t) = a sen^(- 1) (t)/(a)

Chamei de A (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A (t) = g (w (t))

Com

g (t) = a sen^(- 1) t

w (t) = (t)/(a)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A^' (t) = g^' (w (t)) w^' (t)

Temos

g^' (t) = a (1)/(sqrt(1 - t^2))

Então

A^' (x) = a (1)/(sqrt(1 - (w (t))^2)) w^' (t)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w (t)

w (t) = (t)/(a) -> w^' (t) = (1)/(a)

Vamos ter

A^' (t) = a (1)/(sqrt(1 - ((t)/(a))^2)) (1)/(a)

A^' (t) = (1)/(sqrt(1 - (t^2)/(a^2))) = (1)/(sqrt((a^2 - t^2)/(a^2))) = (1)/((sqrt(a^2 - t^2))/(sqrt(a^2))) = (1)/((sqrt(a^2 - t^2))/(|a|)) = (|a|)/(sqrt(a^2 - t^2))

Passo 3

Fazendo

B (t) = sqrt(a^2 - t^2)

Chamei de B (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

B (t) = h (m (x))

Com

h (t) = sqrt(t) = t^((1)/(2))

m (t) = a^2 - t^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

B^' (t) = h^' (m (t)) m^' (t)

Temos

h^' (t) = (1)/(2) t^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(t))

Então

B^' (t) = (1)/(2 sqrt(m (t))) m^' (t)

Passo 4

Vamos finalizar achando a derivada de m (t)

m (t) = a^2 - y^2 -> m^' (t) = - 2 t

Vamos ter

B^' (t) = (1)/(2 sqrt(a^2 - t^2)) (- 2 t)

B^' (t) = - (t)/(sqrt(a^2 - t^2))

Passo 5

Voltando para nossa função inicial:

f^' (t) = (a sen^(- 1) (t)/(a) + sqrt(a^2 - t^2))^' = (a sen^(- 1) (t)/(a))^' + (sqrt(a^2 - t^2))^'

f^' (t) = (|a|)/(sqrt(a^2 - t^2)) + (- (t)/(sqrt(a^2 - t^2)))

f^' (t) = (|a| - t)/(sqrt(a^2 - t^2))

Resposta

f^' (t) = (|a| - t)/(sqrt(a^2 - t^2))

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Ache a derivada da função dada. f x = a r c c o s s e c2 x
Ache a derivada da função dada. f x = arccos ⁡ 3 x
Ache a derivada da função dada. g x = arctan ⁡ 2 x
Ache a derivada da função dada. g x = 1 2 a r c s e nx 2
Ache a derivada da função dada. f y = a r c c o t a ne y