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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 4

Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 5 1 - 4 x 2

Passo 1

Boa tarde galera! Lembre-se que é possível escrever uma função como uma série de potências? É exatamente isso que pede nos pede o enunciado. Para isso vamos primeiro observar a função:

f x = 5 1 - 4 x 2

Vamos lembrar que para fazer isso nós iremos comparar com a série geométrica que por definição é:

1 1 - x = ∑ x n

Então vamos colocar a mão na massa?

Passo 2

Podemos reescrever a função como uma série geométrica, sendo assim, temos:

f x = 5 1 - 4 x 2 =   5 1 1 - 4 x 2

Lembrando que:

1 1 - x = ∑ x n

Podemos chamar 4 x 2 = y

E fazer:

5 1 1 - y =   5 ∑ y n

Ou seja:

5 ∑ n = 0 ∞ 4 x 2 n = 5 ∑ n = 0 ∞ 4 n x 2 n

Passo 3

Para calcular o raio de convergência de séries de potências (séries que possuem uma variável x ) podemos aplicar o teste da razão.

Vamos nos recordar o que é o teste da razão?

Uma série qualquer, chamada de ∑ a n , será convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Será divergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1

Caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Então o teste não é conclusivo.

Agora que já entendemos o que será feito.

Partiu colocar a mão na massa!!!

Passo 4

Então, pelo teste da razão, temos:

a n =   4 n x 2 n   Enquanto que:

a n + 1 =   4 ( n + 1 ) x ( 2 n + 1 )

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 1 x 2 n + 1 4 n x 2 n

lim n → ∞ ⁡ 4 x 2 = 4 x 2

Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando:

4 x 2 < 1

x 2 < 1 4

x < 1 2

Dessa forma, temos:

- 1 2 < x < 1 2

E o raio de convergência é:

R = 1 2 - - 1 2 2 = 1 2

E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por:

I = - 1 2 , 1 2

Resposta

5 ∑ n = 0 ∞ 4 n x 2 n

I = - 1 2 , 1 2

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Se f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n , onde c n + 4 = c n para todo n ≥ 0 , encontre o intervalo de convergência da série e uma fórmula para f x .
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência. f x = 3 x 2 + x - 2
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Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ ( n x ) n n + 2