Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 6
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
6.
Passo 1
Fala, gente bonita!
A questão é simples. A gente vai representar a função
como uma série de potências e descobrir o intervalo de convergência.
Precisamos rescrever a nossa função para ficar com a cara mais parecida possível de uma série geométrica:
Essa é a cara que nossa função dada na questão precisa se parecer. Por isso, vamos manipular a função que nos deram:
Sendo como na série geométrica , então:
Achamos nossa série de potência!
Passo 2
Então, pelo Teste da Razão, podemos encontrar o raio de convergência e daí nosso intervalo.
O Teste da Razão tem uma fórmula:
E essa série vai ter convergência se o resultado desse limite for .
Seja nosso , e distribuindo o expoente para o numerador e denominador:
Já o nosso
Assim, vamos jogar na fórmula e fazer a mágica acontecer:
Por causa da divisão de frações, vamos inverter a fração do denominador e multiplicar pelo numerador:
Podemos colocar em evidência nossas bases e depois cancelar os termos:
Sendo assim, pelo Teste da Razão, a série converge quando a razão for menor que , ou seja:
Dessa forma, achamos o raio de convergência. Então temos o nosso intervalo de convergência, que é: