Use a fórmula no Exercício 69(a) para calcular a curvatura da cicloide x = θ - sen θ, y = 1 - cos(θ) no topo de um dos arcos.

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa?

Vamos entender o que a questão pede e como faremos para resolver? Se liga ai!

Vamos calcular a curvatura do cicloide do topo de um dos arcos. Para isso

  1. Vamos utilizar a fórmula da curvatura dada na questão 69a)
  2. κ t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' t x ' t 2 + y 1 t 2 3 2

  3. Encontrar a primeira e a segunda derivada das equações x t e y ( t ) .
  4. Substituir na fórmula e calcular a curvatura.

Agora é só calcular!

Passo 2

Temos que:

x ( t ) = t - s e n   t

Primeira derivada

x ' ( t ) = 1 - cos ⁡ t

Segunda derivada

x ' ' ( t ) = s e n   t

E em y , temos que:

y ( t ) = 1 - cos ⁡ θ

Primeira derivada

y ' ( t ) = s e n   t

Segunda derivada

y ' ' ( t ) = cos ⁡ t

Passo 3

Agora vamos substuir essas devivadas na fórmula da curvatura.

κ t = ∣ ( 1 - c o s ( t ) ) ( c o s ( t ) ) - ( s i n ( t ) ) ( s i n ( t ) ) ∣ 1 - c o s 2 t 2 + ( s e n   t ) ² 3 2

κ t = | c o s t - c o s 2 t - s e n 2 t | 1 - c o s 2 t 2 + ( s e n   t ) ² 3 2

κ t = | cos  t ⁡ - cos 2 ⁡ t + s e n 2 t | 1 - 2 c o s θ + ( c o s 2 θ + s e n 2 θ ) 3 2

Pela relação trigonométrica c o s 2 t + s e n 2 = 1

κ t = cos ⁡ t - 1 2 - 2 cos ⁡ t 3 2

Passo 4

Bom, sabemos que no topo do arco nós temos uma reta tangente horizontal, e isso ocorre quando t = 2 n - 1 π ,

Então vamos pegar n = 1 ,   e substituir t = π na expressão de k :

κ t = cos ⁡ t - 1 2 - 2 cos ⁡ t 3 2

κ t = - 1 - 1 2 - 2 - 1 3 2 = 1 4

Show! Descobrimos que a curvatura no topo da cicloide é κ = 1 4 .

Resposta

k = 1 4

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