Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 67
Se for contínua e para mostre que a curva parametrizada pode ser colocada na forma [Sugestão:Mostre que existe.]
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que a derivada é contínua em um intervalo e que essa derivada é diferente de zero.
Queremos demonstrar que a curva parametrizada
Também no intervalo pode ser colocada na forma .
Para isso, o enunciado nos dá uma sugestão de mostrar que existe.
Hm... complicado né??
Então vamos devagarinho!! 😉
Passo 2
Bom... é a inversa de , belezinha?
Primeiramente vamos considerar a seguinte função
Aqui, estamos usando a função inversa de , denotada por , para encontrar os valores de correspondentes a cada .
Como é contínua para , e nesse mesmo intervalo, isso implica que é estritamente monotônica nesse intervalo.
Portanto, existe uma função inversa tal que para todos os no intervalo de .
Além disso, como para , isso significa que é contínua e não possui pontos de inflexão neste intervalo.
Isso implica que também é contínua e não possui descontinuidades.
Passo 3
Agora, vamos considerar .
Como , podemos substituir por em , obtendo:
Portanto, a curva parametrizada no intervalo pode ser representada na forma , onde
Assim, mostramos que a curva parametrizada pode ser colocada na forma .
Resposta
Demonstração