Se f' for contínua e f'(t) ≠ 0 para a ≤ t ≤ b, mostre que a curva parametrizada x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, pode ser colocada na forma y = F(x) [Sugestão: Mostre que f^(-1) existe.]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que a derivada f ' t é contínua em um intervalo a ≤ t ≤ b e que essa derivada é diferente de zero.

Queremos demonstrar que a curva parametrizada

x = f t

y = g t

Também no intervalo a ≤ t ≤ b , pode ser colocada na forma y = F x .

Para isso, o enunciado nos dá uma sugestão de mostrar que f - 1 existe.

Hm... complicado né??

Então vamos devagarinho!! 😉

Passo 2

Bom... F x é a inversa de f x , belezinha?

Primeiramente vamos considerar a seguinte função

F ( x ) = g ( f - 1   ( x ) )

Aqui, estamos usando a função inversa de f ( x ) , denotada por f - 1 ( x ) , para encontrar os valores de y correspondentes a cada x .

Como f ( t ) é contínua para a ≤ t ≤ b , e f ' t ≠ 0 nesse mesmo intervalo, isso implica que f ( t ) é estritamente monotônica nesse intervalo.

Portanto, existe uma função inversa f - 1 ( x ) tal que f ( f - 1 ( x ) ) = x para todos os x no intervalo de f .

Além disso, como f ' t ≠ 0 para a ≤ t ≤ b , isso significa que f ( t ) é contínua e não possui pontos de inflexão neste intervalo.

Isso implica que f - 1 ( x ) também é contínua e não possui descontinuidades.

Passo 3

Agora, vamos considerar y = g ( t ) .

Como t = f - 1 ( x ) , podemos substituir t por f - 1 ( x ) em y = g ( t ) , obtendo:

y = g ( f - 1 ( x ) )

Portanto, a curva parametrizada x = f ( t ) ,   y = g ( t ) no intervalo   a ≤ t ≤ b pode ser representada na forma y = F ( x ) , onde

F ( x ) = g ( f - 1 ( x ) )

Assim, mostramos que a curva parametrizada pode ser colocada na forma y = F ( x ) .

Resposta

Demonstração

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