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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 21

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ - 1 5 1 + 3 x d x

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! Aqui temos que calcular a integral:

∫ - 1 5 1 + 3 x d x

Usando o teorema 4, que diz que: Se for integrável em [ a , b ] então:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde:

∆ x = b - a n

x i = a + i ∆ x

Vamos lá?!

Passo 2

Temos que então achar ∆ x e x i , pela integral já sabemos que a = - 1 e b = 5 , assim:

∆ x = 5 - - 1 n = 6 n

x i = - 1 + i ∆ x = - 1 + 6 i n

Pronto, agora podemos substituir:

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 - 1 + 6 i n 6 n

Arrumando:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 - 1 + 6 i n 6 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 n 1 - 3 + 18 i n

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 n - 2 + 18 i n

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 12 n - 1 + 9 i n

Passo 3

Agora vamos usar algumas regras de somatórios:

∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i

∑ i = 1 n a i + b i = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i

∑ i = 1 n c = n c

Aplicando a primeira e a segunda propriedade:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 12 n - 1 + 9 i n = lim n → ∞ ⁡ 12 n ∑ i = 1 n - 1 + 9 n ∑ i = 1 n i  

Agora a terceira:

lim n → ∞ ⁡ 12 n ∑ i = 1 n - 1 + 9 n ∑ i = 1 n i   = lim n → ∞ ⁡ 12 n - n + 9 n ∑ i = 1 n i  

A fórmula geral para a soma dos primeiros n números inteiros positivos, também conhecida como a soma de uma série aritmética, é dada por:

∑ i = 1 n i = n n + 1 2

Então:

lim n → ∞ ⁡ 12 n - n + 9 n ∑ i = 1 n i   = lim n → ∞ ⁡ 12 n - n + 9 n n n + 1 2  

Simplificando:

lim n → ∞ ⁡ 12 - 1 + 9 2 + 9 2 n  

Passo 4

Agora só precisamos calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ 12 - 1 + 9 2 + 9 2 n   = 12 - 1 + 9 2 = 42

Portanto:

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = 42

Resposta

∫ - 1 5 1 + 3 x d x = 42

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