Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

32.

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para temos:

Para temos:

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Para :

A única possibilidade dessa expressão ser 0 é se :

Para :

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de , que é e . Agora vamos ver o valor de para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para :

Para :

Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.

Vemos que para:

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que .

Olhando essas avaliações você pode ver que é um extremo relativo de , pois como apresenta uma descontinuidade ele é um número crítico de .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto máximo, como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto mínimo, como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto máximo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Abaixo podemos ver o gráfico da função.