Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 33
Ache todos os valores de para os quais o número é real
Passo 1
Para que o resultado de uma raiz quadrada seja real precisamos que o que tem dentro dela seja maior ou igual a , ou seja:
Agora é só resolver a inequação! Se a gente fatorar essa equação, podemos fazer a análise do sinal dela a partir de uma tabelinha de sinal e ficar só com os valores positivos do produto dos fatores.
Passo 2
Podemos fatorar essa equação do 2º grau em termos de suas raízes e como:
Por Bhaskara, temos:
E encontramos as duas raízes:
Então podemos reescrever a inequação como:
Passo 3
Agora vamos fazer a análise do sinal da equação com uma tabelinha que nos mostra o sinal de cada binômio e o sinal resultante do produto entre eles. Vamos analisar em todos os números reais, mas vamos dividir entre alguns intervalos e valores importantes. Esses pedaços serão segmentados em cada raiz.
Vemos que nossa condição () é satisfeita nos dois primeiros intervalos e nos dois últimos: . Nosso conjunto solução será a união de todos esses intervalos!