Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 54
Resolva em e escreva a resposta com a notação de valor absoluto
Passo 1
Precisamos encontrar os valores para os quais a nossa equação é não-negativa. Pra isso vamos analisá-la usando uma tabela de sinais seguindo essa metodologia:
- Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
- Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
- Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
- Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
- Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!
Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é tranquilinho ;)
O problema pede para que representemos a resposta em termos de valor absoluto, mas vamos nos preocupar com isso depois que soubermos nosso intervalo onde é não-negativa.
Como a equação já está com todos os termos isolados em uma fração só, podemos ir para o 2º passo.
Passo 2
Nossas raízes serão:
Passo 3
Daí os nossos intervalos de análise serão:
Também vamos considerar a nossa função nas raízes, pois estamos considerando o intervalo fechado em . Daí vamos ficar com as duas tabelinhas de sinais:
Passo 4
Para
Conjunto solução para :
Para
Conjunto solução para :
Passo 5
Como queremos ambas as soluções simultaneamente, precisamos fazer a interseção dos conjuntos solução encontrados pra ficar com o nosso conjunto solução final.
Considerando
Que também podemos representar como:
E da definição de módulo:
E acabamos! Temos nosso intervalo em termos de valor absoluto!