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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 1i

i) int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (d u)/(u) = ln | u | + c

Passo 2

Resolvendo!

I = int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x = int (d x)/(x) + int x^(- 2) d x = ln | x | + (x^(- 1))/(- 1) + c

Repare que podemos juntar as duas constantes em uma só até porque é um valor constante!!

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = ln | x | - (1)/(x) + c

Derivando para verificar,

I^' = (ln | x | - (1)/(x) + c)^' = (1)/(x) - ( - x^(- 2) ) + 0

= (1)/(x) ∓ x^(- 2) = (1)/(x) + (1)/(x^2)

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

ln | x | - (1)/(x) + c

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Demonstre a propriedade 3 das integrais.
Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais. ∫ 0 1 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x d x
Se int_0^9 f (x) d x = 37 e int_0^9 g (x) d x = 16 , encontre int_0^9 [2 f (x) + 3 g (x)] d x .
Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8
Suponha que f tenha uma valor mínimo absoluto m e um valor máximo absoluto M . Entre quais dois valores ∫ 0 2 f x d x deve ficar? Que propriedade das integrais lhe permitem tirar esta conclusão?