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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 1q

q) int ((1)/(x) + (1)/(e^x)) d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = int ((1)/(x) + (1)/(e^x)) d x = int (1)/(x) d x + int (1)/(e^x) d x

Não esquece: int e^x d x = e^x + c e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 2

Resolvendo!

I_1 = int (1)/(x) d x = ln |x| + c_1

Além disso,

I_2 = int (1)/(e^x) d x = int e^(- x) d x = (e^(- x))/(- 1) + c_2

E vai ficar assim:

I = I_1 + I_2 = ln |x| + c_1 + (e^(- x))/(- 1) + c_2 = ln |x| - (1)/(e^x) + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = (e^(2 x))/(2) - e^(- x) + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I^' = (ln |x| - (1)/(e^x) + c)^' = (1)/(x) - e^(- x) * (- 1) + 0 = (1)/(x) + (1)/(e^x)

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

ln |x| - (1)/(e^x) + c

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