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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 1t

t) int (x^5 + x + 1)/(x^2) d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = int (x^5 + x + 1)/(x^2) d x = int x^3 d x + int (1)/(x) d x + int (1)/(x^2) d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 2

Resolvendo!

I_1 = int x^3 d x = (x^(3 + 1))/(3 + 1) + c_1 = (x^4)/(4) + c_1

E,

I_2 = int (1)/(x) d x = l n | x | + c_2

Além disso,

I_3 = int (1)/(x^2) d x = (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + c_3 = - x^(- 1) + c_3 = - (1)/(x) + c_3

E vai ficar assim:

I = I_1 + I_2 + I_3 = (x^4)/(4) + c_1 + ln |x| + c_2 - (1)/(x) + c_3

I = (x^4)/(4) + ln |x| - (1)/(x) + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = (x^4)/(4) + ln |x| - (1)/(x) + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I^' = ((x^4)/(4) + ln |x| - (1)/(x) + c)^' = 4 * (x^(4 - 1))/(4) + (1)/(x) - (- 1) * x^(- 1 - 1) = x^3 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = (x^5 + x + 1)/(x^2)

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

(x^4)/(4) + ln |x| - (1)/(x) + c

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