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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3c

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação.

c ) ∫ cos ⁡ 5 x   d x

Passo 1

Analisando a integral, podemos perceber que se trata de uma primitiva imediata dada por ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k , sendo k uma constante.

E, nesse caso, podemos perceber que α = 5

Passo 2

Agora, vamos substituir o valor de α . Chegando ao seguinte resultado:

∫ cos ⁡ 5 x   d x = 1 5 sin ⁡ 5 x + k  

Passo 3

Para verificarmos o resultado, vamos realizar a derivada. Para isso, devemos lembrar que, pela regra da cadeia, a derivada sin ⁡ u = u ' cos ⁡ u   . Então,

1 5 sin ⁡ 5 x + k ' =   1 5 sin ⁡ 5 x ' + k ' = 5 1 5 cos ⁡ 5 x = cos ⁡ 5 x

Ou seja, confirmamos o resultado pela derivada.

Resposta

Portanto, o resultado da integral é

∫ cos ⁡ 5 x   d x = 1 5 sin ⁡ 5 x + k  

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