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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3f

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação.

e )   ∫ cos ⁡ 3 t   d t

Passo 1

Observando melhor essa integral, vemos que se trada de uma primitiva imediata dada por ∫ cos ⁡ α t   d t = 1 α sin ⁡ α t + k , sendo k uma constante.

Onde, podemos notar que, no nosso caso, α = 3

Passo 2

Aplicando o valor de α na primitiva, teremos:

∫ cos ⁡ 3 t   d t = 1 3 sin ⁡ 3 t + k

Passo 3

Agora, para verificarmos o resultado, vamos realizar a derivada. Para isso, devemos lembrar que, pela regra da cadeia, ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   . Então,

1 3 sin ⁡ 3 t + k ' =   1 3 sin ⁡ 3 t ' + k ' = 3 1 3 cos ⁡ 3 t = cos ⁡ 3 t

Ou seja, confirmamos que a integração está correta

Resposta

Logo, a resposta da integral é

∫ cos ⁡ 3 t   d t = 1 3 sin ⁡ 3 t + k

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Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: cab (Teorema dado no livro).
Se f for contínua em [ a , b ] , prove que: ∫ a b f x d x ≤ ∫ a b f x d x (Sugestão: - f x ≤ f x ≤ | f x | .)
Calcule a integral definida ∫ 2 - 1 2 x + 1 2d x usando os resultados: ∫ - 1 2 x 2 d x = 3 ∫ - 1 2 xd x = 3 2
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: bca (Teorema dado no livro).
Calcule a integral definida ∫ - 1 2 ( 5 x 2 + 1 3 x - 1 2 )d x usando os resultados: ∫ - 1 2 x 2 d x = 3 ∫ - 1 2 xd x = 3 2