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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3h

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

h ) int (2 + (1)/(3) sin 2 x) d x

Passo 1

Para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas por se trata se uma subtração de termos. Assim,

int 2 d x + int (1)/(3) sin 2 x d x

Passo 2

Vendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Sendo a primeira integral se trata de uma constante, temos a primitiva imediata dada por int c d x = c x + k , com c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k , sendo k uma constante. Logo,

int 2 d x + int (1)/(3) sin 2 x d x = 2 x + (- (1)/(2) * (1)/(3) cos 2 x) + k = 2 x - (1)/(6) cos 2 x + k

Passo 3

Agora, vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x^(alpha) ) ' = alpha x^(alpha - 1) e que ( cos u ) ' = - u ' sin u . Então,

(2 x - (1)/(6) cos 2 x + k)^' = (2 x)^' - ((1)/(6) cos 2 x)^' + (k)^' = 2 - (- 2 (1)/(6) sin 2 x) + 0 = 2 + (1)/(3) sin 2 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

int (2 + (1)/(3) sin 2 x) d x = 2 x - (1)/(6) cos 2 x + k

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6. Calculei ) int ( 5 + s e n 3 x )^2 d x
7. Calcule c ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule g ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule a ) ∫ cos 2 ⁡ 2 xd x
4. Calcule b )∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x 2d x