3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

h )   ∫ 2 + 1 3 sin ⁡ 2 x d x

Passo 1

Para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas por se trata se uma subtração de termos. Assim,

∫ 2   d x +   ∫ 1 3 sin ⁡ 2 x d x

Passo 2

Vendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Sendo a primeira integral se trata de uma constante, temos a primitiva imediata dada por ∫ c   d x = c x + k ,   com c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , sendo k uma constante. Logo,

∫ 2 d x +   ∫ 1 3 sin ⁡ 2 x d x = 2 x + - 1 2 * 1 3 cos ⁡ 2 x + k = 2 x - 1 6 cos ⁡ 2 x + k

Passo 3

Agora, vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x α ) ' =   α x α - 1 e que ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u . Então,

2 x - 1 6 cos ⁡ 2 x + k ' =   2 x ' - 1 6 cos ⁡ 2 x ' + k ' = 2 -   - 2 1 6 sin ⁡ 2 x + 0 = 2 + 1 3 sin ⁡ 2 x  

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

∫ 2 + 1 3 sin ⁡ 2 x d x =   2 x - 1 6 cos ⁡ 2 x + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados