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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 7b

7. Calcule

b ) int_0^((pi)/(4)) sin^2 x d x

Passo 1

Vamos usar a identidade verificada na letra a, dada por sin^2 x = (1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x . Então, substituindo ficamos com:

int sin^2 x d x = int ((1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x) d x

Passo 2

Temos a primitiva imediata de uma constante dada por int c d x = c x + k , sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k , sendo k uma constante. Logo,

int ((1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x) d x = (1)/(2) x - (1)/(2) * (1)/(2) sin 2 x + k = (1)/(2) x - (1)/(4) sin 2 x + k

Passo 3

Agora, vamos substituir o intervalo de integração

int_0^((pi)/(4)) sin^2 x d x = (1)/(2) ((pi)/(4)) - (1)/(4) sin (2 (pi)/(4)) - (0 - (1)/(4) sin 0) = (pi)/(8) - (1)/(4) sin ((pi)/(2)) = (pi)/(8) - (1)/(4)

Resposta

Portanto, a resposta é

int_0^((pi)/(4)) sin^2 x d x = (pi)/(8) - (1)/(4)

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10. Calculeb)int sec^2 x d x
10. Calculei)int (5^x + e^(- x)) d x