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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 4c

4. Calcule

c ) int_0^((pi)/(3)) (sin 3 x + cos 3 x) d x

Passo 1

Olá! Aqui temos uma integral definida para resolver. Então primeiros vamos achar a primitiva e depois aplicar os limites de integração.

Para achar a primitiva vamos usar uma substituição simples! O grande lance aqui é perceber que o argumento do seno e cosseno são iguais ( 3 x ). Vamos lá, então!

Passo 2

Vamos resolver,

int sin 3 x + cos 3 x d x

Vamos fazer a seguinte substituição,

u = 3 x

d u = 3 d x -> (d u)/(3) = d x

Montando a integral,

int sin u + cos u (d u)/(3) = - (cos u)/(3) + (sin u)/(3)

Voltando para variável x

int sin 3 x + cos 3 x d x = - (cos 3 x)/(3) + (sin 3 x)/(3)

Agora vamos aplicar os limites de integração!

Passo 3

Agora vamos substituir o intervalo da integral

int_0^((pi)/(3)) (sin 3 x + cos 3 x) d x = (- (1)/(3) cos (3 (pi)/(3)) + (1)/(3) sin (3 (pi)/(3))) - (- (1)/(3) cos 0 + (1)/(3) sin 0) = (1)/(3) + (1)/(3) = (2)/(3)

Resposta

Logo, a resposta é

int_0^((pi)/(3)) (sin 3 x + cos 3 x) d x = (2)/(3)

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