Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 57
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.
Passo 1
Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.
- Determinar a derivada da função.
- Fazer e depois encontrar os valores de para os quais não existe.
- Achar os valores de que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
- Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
- Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.
Vamo devagarinho que dá bom!
Passo 2
Derivando a :
Pela regra da cadeia:
Passo 3
Essa derivada nunca se iguala a ! Mas existe um ponto onde ela não existe: . Perceba que a derivada da função é negativa até esse ponto e depois ela fica positiva, o que quer dizer que a função estava decrescente e a partir de ela começou a crescer, o que significa que temos um mínimo absoluto em .
Passo 4
Como em nenhum outro ponto a derivada se iguala a ou não existe, o máximo absoluto da função estará em algum dos limites do intervalo. Vamos fazer e
E
Então é o nosso outro valor extremo.
Passo 5
Para o esboço da nossa função vamos usar o que temos. Sabemos que é uma função raiz, então a variação dela será lenta para os valores distantes grandes. Poderíamos concluir isso também a partir da derivada da função, que é inversamente proporcional a . Então vamos ter uma função que começa em e vai decrescente até . Daí ela vai começar a subir novamente até chegar em Nosso esboço fica assim:
Resposta
Mín. absoluto:
Máx. absoluto:
