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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 11

Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (11) f x = x 2 + 7 x - 3 ; [ - 3,3 ) .

Passo 1

Vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função:

f ' x = 2 x x - 3 - x 2 + 7 x - 3 2 = 2 x 2 - 6 x - x 2 - 7 x - 3 2 = x 2 - 6 x - 7 x - 3 2

f ' ' x = 2 x - 6 x - 3 2 - x 2 - 6 x - 7 2 x - 3 x - 3 4

f ' ' x = 2 x - 6 x 2 - 6 x + 9 - 2 x 2 - 6 x - 7 x - 3 x - 3 4 f ' ' x = 2 x 3 - 12 x 2 + 18 x - 6 x 2 + 36 x - 54 - 2 x 3 + 6 x 2 + 12 x 2 - 36 x + 14 x - 42 x - 3 4 f ' ' x = 32 x - 96 ( x - 3 ) 4 = 32 x - 3 ( x - 3 ) 4 = 32 ( x - 3 ) ³

Passo 2

A primeira derivada vai nos indicar se há pontos críticos na função. Vamos igualar a expressão encontrada no passo anterior.

x 2 - 6 x - 7 x - 3 2 = 0

A expressão só será igual a zero quando o numerador for igual a zero. Logo:

x 2 - 6 x - 7 = 0 x 1 = 7   o u   x 2 = - 1

Como nosso intervalo é [ - 3,3 ) , o único valor crítico é x = - 1

Passo 3

Vamos avaliar os pontos críticos na segunda derivada para encontrarmos os pontos de mínimo ou máximo local.

  • Para x = - 1

f ' ' - 1 = 32 ( - 1 - 3 ) ³ = 32 ( - 4 ) 3 f ' ' x = - 1 2

x = - 1 é um máximo local porque o valor da segunda derivada é negativo.

Passo 4

Avaliando na função os pontos extremos do nosso intervalo temos:

f x = x 2 - 6 x - 7 x - 3 2 f - 3 = ( - 3 ) 2 - 6 ( - 3 ) - 7 - 3 - 3 2 f - 3 = 9 + 18 - 7 36 = 20 36 = 5 9

f 3 = ( 3 ) 2 - 6 ( 3 ) - 7 3 - 3 2 f 3 = ∞    

Vamos montar uma tabela com os resultados obtidos.

Os extremos quando aplicados nas funções revelaram valores maiores do que quando aplicamos o ponto crítico à f ( x ) . Portanto, dentro desse intervalo, não temos máximo absoluto, apenas um máximo local.

Resposta

Portanto, os valores extremos para a f ( x ) são:

x = - 1   c o m o   m á x i m o   l o c a l

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