Uma engenheira de tráfego monitora o trânsito durante uma hora do horário de pico da tarde. A partir de seus dados, ela estima que, entre as 4h30min e 5h30min da tarde, a taxa R ( t ) segundo a qual os carros entram em uma certa via expressa é dada pela fórmula R t = 100 ( 1 - 0,0001 t 2 ) carros por minuto, onde t é o tempo (em minutos) desde as 4h30min da tarde.

(a)Quando ocorre o pico de fluxo de trânsito para dentro da via expressa?

(b)Estime o número de carros que entram na via expressa durante a hora monitorada.

Passo 1

(a)O pico do fluxo vai ocorrer no ponto de máximo que a função assume. Podemos determinar esse ponto por igualar a derivada da função a zero. Nisso, obtemos os pontos críticos. Temos:

R ' t = 100 ( - 2 ∙ 0,0001 t )

Igualando a zero:

100 - 2 ∙ 0,0001 t = 0

- 2 ∙ 0,0001 t = 0

0,0001 t = 0

∴ t = 0

Logo, em t = 0   m i n , a partir das 4h30min da tarde, temos o fluxo máximo de carros. Então o pico ocorre exatamente às 4h30min.

Passo 2

(b)Precisamos saber a quantidade de carros que passou na vida entre 4h30min e 5h30min da tarde.

Como então calcular a quantidade total de carros entre os instantes t = 0   m i n (que começa às 4h30min) e t = 60   m i n (tempo decorrido até 5h30min)?

Bom, isso nada mais é que um somatório dos valores de R ( t ) pra cada t entre 0 e 60. Daria muito trabalho fazer isso na mão, mas podemos resolver isso facilmente com uma integral. A seguinte integral:

∫ 0 60 R t d t = ∫ 0 60 1 00 ( - 2 ∙ 0,0001 t ) d t

Passamos o que é constante pra fora e temos:

100 ∫ 0 60 - 2 ∙ 0,0001 t d t = - 2 00 ∫ 0 60 0,0001 t d t = - 0,02 ∫ 0 60 t d t

A integral ∫ 0 60 t d t se resolve diretamente. Teremos:

∴ ∫ 0 60 t d t = t 2 2 0 60 = 60 2 2 - 0 2 2 = 1800

Assim, verificamos 1800 carros na via durante o intervalo de tempo monitorado.

Resposta

(a)Às 4h30min.

(b)1800 carros.

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