Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 70
Uma engenheira de tráfego monitora o trânsito durante uma hora do horário de pico da tarde. A partir de seus dados, ela estima que, entre as 4h30min e 5h30min da tarde, a taxa segundo a qual os carros entram em uma certa via expressa é dada pela fórmula carros por minuto, onde é o tempo (em minutos) desde as 4h30min da tarde.
(a)Quando ocorre o pico de fluxo de trânsito para dentro da via expressa?
(b)Estime o número de carros que entram na via expressa durante a hora monitorada.
Passo 1
(a)O pico do fluxo vai ocorrer no ponto de máximo que a função assume. Podemos determinar esse ponto por igualar a derivada da função a zero. Nisso, obtemos os pontos críticos. Temos:
Igualando a zero:
Logo, em , a partir das 4h30min da tarde, temos o fluxo máximo de carros. Então o pico ocorre exatamente às 4h30min.
Passo 2
(b)Precisamos saber a quantidade de carros que passou na vida entre 4h30min e 5h30min da tarde.
Como então calcular a quantidade total de carros entre os instantes (que começa às 4h30min) e (tempo decorrido até 5h30min)?
Bom, isso nada mais é que um somatório dos valores de pra cada entre 0 e 60. Daria muito trabalho fazer isso na mão, mas podemos resolver isso facilmente com uma integral. A seguinte integral:
Passamos o que é constante pra fora e temos:
A integral se resolve diretamente. Teremos:
Assim, verificamos 1800 carros na via durante o intervalo de tempo monitorado.
Resposta
(a)Às 4h30min.
(b)1800 carros.