31. Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 2 se

f x = a x + b ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2

Passo 1

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se ambas existirem e forem iguais. E se ela for derivável em x1, necessariamente ela é contínua em x1.

Na questão ele nos pede para encontrarmos duas constantes, a e b, para que f(x) seja derivável em x1 = 1. Porém, para provar isso devemos determinar a derivada à esquerda e à direita de f (x) em x1 = 1, para vê se a condição para que ela seja derivável é aceita.

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Passo 2

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = 2 será:

Passo 3

A derivada à direita de f(X) em x1 = 2 será :

Logo, para que f seja derivável a sua derivada à esquerda deve ser igual a derivada à direita. Com isso temos que a = 8. Para acharmos o valor de b , temos que encontrar uma relação entre a e b utilizando-se do conceito de continuidade, pois para que ela seja derivável em x = 2 ela deve ser contínua em x = 2. Dizer que f é contínua em x = 2 é a mesma coisa que afirmar que o limite nesse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Assim, temos:

Passo 4

Para acharmos o valor de b , temos que encontrar uma relação entre a e b utilizando-se do conceito de continuidade, pois para que ela seja derivável em x = 2 ela deve ser contínua em x = 2. Dizer que f é contínua em x = 2 é a mesma coisa que afirmar que o limite nesse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Assim, temos:

Entao, para que f seja contínua obtemos a seguinte relação entre a e b

2a + b =7

Portanto, temos que b = -9.

Resposta

a = 8 e b = -9.

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