23. Dada f(x) = raiz(x^2 - 9) . (a) Prove que f é contínua em [-∞, -3] e [3, +∞]. (b) Prove que nem f'(-3) nem f'_(+) (3) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f.

Letra (a)

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o intervalo ( -∞,-3] e [3,+∞) e solicita que mostremos que a função é contínua nestes 2 intervalos.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter x2 – 9 ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≥ 9.. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Tomemos a Є ( -∞,-3] e b Є [3,+∞). Como a ≤ -3 e b ≥ 3 , segue que

Calculemos agora o limite:

Vemos então que para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo a ≤ -3 e um x = b arbitrário pertencendo ao intervalo b ≥ 3 . Como a e b são arbritários, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

35. Dada f(x) = (x - a) [x] . Onde a é um inteiro, mostre que f'(a) + 1 = f'(+)(a) .
28. Dada f x = 1 - x 2 3 / 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado - 1,1 . (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto ( - 1,1 ) e que ambas f ´ + - 1ef ´ - ( 1 ) existem. (c) Faça um
34. Dada f(x) = (5 - x) [x] . Faça um esboço do gráfico de f para x e [4,6]. Ache, se existirem: (a) f'(-5); (b) f' + 5; (c) f´(5)
28. Dada f(x) = (1 - x^2)^(3/2) (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [-1,1]. (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto (-1,1) e que ambas f'_(+) = e f'_(-1) existem. (c) Faça um esboç
33. Dada f(x) = (x - 1) [x] . Faça um esboço do gráfico de f para x e [0,2]. Ache, se existirem: (a) f'(-1); (b) f' + 1; (c) f´(1)