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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 4

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.

Passo 1

Bom galera, primeiro vamos encontrar a interseção entre as funções:

x = y

x = y 2 - 2

Então vamos encontrar o x :

y = y 2 - 2

→ 0 = y 2 - y - 2

→ y = { - 1 ; 2 }

Logo a gente pega o y = 2 , porque é positivo, então nosso intervalo vai ser:

0 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Belezinha, agora a nossa integral para encontrarmos o volume:

V = 2 π ∫ 0 2 y y - y 2 - 2 d y

→ V = 2 π ∫ 0 2 y y - y 2 + 2 d y

→ V = 2 π ∫ 0 2 y 2 - y 3 + 2 y   d y

Passo 3

Por fim, a gente só resolve essa integral e pronto:

V = 2 π ∫ 0 2 y 2 - y 3 + 2 y   d y

→ V = 2 π y 3 3 - y 4 4 + y 2 0 2

→ V = 2 π 2 3 3 - 2 4 4 + 2 2 - 0

→ V = 2 π 8 3 = 16 3 π

Resposta

V = 16 3 π

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