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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 29

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exemplo 2 em torno da reta x = 1 .

Passo 1

No Exemplo 2 a região é dada por y = 3 x - x 3 , pelo eixo y e pela reta y = 2 , como na imagem a seguir:

Onde as três linhas vermelhas delimitam a região e a reta preta é o eixo que precisamos rotacionar a região para gerar o sólido. Usando a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a rotação não é em torno do eixo y, mas sim de um eixo que está uma unidade de distância, precisamos substituir o x na equação por 1 - x para podermos rotacionar em torno do eixo falado no enunciado. Além disso, nossa f(x) será a região acima da curva dada, então precisamos subtrair a curva da altura da reta horizontal:

f x = 2 - 3 x - x 3

E os limites de integração serão x = 0 , por causa da delimitação do eixo y e x = 1 , por causa do eixo de rotação.

Nossa equação então ficará:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x 2 - 3 x - x 3 d x

Passo 3

Reescrevendo a integral acima:

V = 2 π ∫ 0 1 - x 4 + x 3 + 3 x 2 - 5 x + 2 d x

Integrando cada termo:

V = 2 π - 1 5 x 5 + 1 4 x 4 + x 3 - 5 2 x 2 + 2 x 1 0

Substituindo os limites:

V = 2 π - 1 5 + 1 4 + 1 - 5 2 + 2 = 11 π 10

Resposta

V = 11 π 10

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