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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 38

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 ⁡ x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .

Passo 1

Primeiramente vamos montar o gráfico das funções e a região hachurada que é por onde vamos calcular o volume do sólido.

Passo 2

Agora vamos montar a integral do sólido usando a fórmula π ∫ a b f ( x ) 2 d x . O limite de integração vai de 1 6 π a 1 2 π e f x = 3 csc 3 ⁡ x .

π ∫ 1 6 π   1 2 π   3 csc 3 ⁡ x 2 d x

π ∫ 1 6 π   1 2 π   9 csc 6 ⁡ x d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral usando a seguinte fórmula ∫ csc n ⁡ x d x = - cos ⁡ x csc n - 1 ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ csc n - 2 ⁡ x d x .

9 π ∫ 1 6 π   1 2 π   csc 6 ⁡ x d x = 9 π - 1 5 cos ⁡ x csc 5 ⁡ x 1 6 π 1 2 π + 4 5 ∫ 1 6 π   1 2 π   csc 4 ⁡ x d x

∫ 1 6 π   1 2 π   csc 4 ⁡ x d x =   - 1 3 cos ⁡ x csc 3 ⁡ x 1 6 π 1 2 π + 2 3 ∫ 1 6 π   1 2 π   csc 2 ⁡ x d x

∫ 1 6 π   1 2 π   csc 4 ⁡ x d x =   - 1 3 cos ⁡ x csc 3 ⁡ x - 2 3 cot ⁡ x 1 6 π 1 2 π

9 π ∫ 1 6 π   1 2 π   csc 6 ⁡ x d x = 9 π - 1 5 cos ⁡ x csc 5 ⁡ x + 4 5 - 1 3 cos ⁡ x csc 3 ⁡ x - 2 3 cot ⁡ x 1 6 π 1 2 π

9 π - 1 5 cos ⁡ x csc 5 ⁡ x - 4 15 cos ⁡ x csc 3 ⁡ x - 8 15 cot ⁡ x 1 6 π 1 2 π

9 15 π - 3 cos ⁡ x csc 5 ⁡ x - 4 cos ⁡ x csc 3 ⁡ x - 8 cot ⁡ x 1 6 π 1 2 π

Passo 4

Tendo encontrada a integral vamos aplicar os valores do limite de integração e descobrir o volume.

3 5 π - 3 cos ⁡ 1 2 π csc 5 ⁡ 1 2 π - 4 cos ⁡ 1 2 π csc 3 ⁡ 1 2 π - 8 cot ⁡ 1 2 π - - 3 cos ⁡ 1 6 π csc 5 ⁡ 1 6 π - 4 cos ⁡ 1 6 π csc 3 ⁡ 1 6 π - 8 cot ⁡ 1 6 π

3 5 π 0 csc 5 ⁡ 1 2 π - 4 0 csc 3 ⁡ 1 2 π - 8 0 - - 3 ∙ 16 3 - 3 ∙ 16 3 - 8 3

3 5 π 72 3

3 5 π 72 3

216 3 5 π

Resposta

216 3 5 π

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7 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo eixo x, pela curva y = 3 x 4 e pelas retas x = 1 e x = - 1 em torno:B - do reta x = 1;