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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.3 - Ex. 22

  1. Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
  2. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.

y = t g   x ,   y = 0 ,   x = π / 4 em torno do eixo x = π 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que calculemos o volume sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x = π 2 :

y = t g   x

  y = 0

x = π / 4

Para isso, a questão quer que utilizemos o método de cascas cilíndricas.

Mas que método é esse??

Bom... basicamente o volume V de um sólido de rotação por esse método é dado por:

V = ∫ a b 2 �� ⋅ y ⋅ g x d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Temos que a altura da curva é dada pela própria função, ou seja:

g x = t g   x

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por π 2 - x   .  

Perceba que a interseção ocorre em x = 0 e x = π 4 pois:

t g   x = 0 ∴ x = 0

E, pelo enunciado:

x = π 4

Sendo assim, temos que o volume V é dado pela seguinte expressão:

V = ∫ 0 π 4 2 π x - π 2   t g   x   d x

Passo 3

Agora vamos usar a calculadora para resolver a integral anterior, beleza?

V = ∫ 0 π 4 2 π x - π 2   t g   x   d x ∴

V ≈ 2,25323

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

V = ∫ 0 π 4 2 π x - π 2   t g   x   d x

V ≈ 2,25323

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Se a região mostrada na figura a seguir é girada em torno do eixo y formando um sólido, use a Regra de Simpson, com n = 8 , para estimar o volume do sólido.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. y = e x , y = e - x , x = 1 ; e mt o r n od oe i
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. x = ln ⁡ y ,y = 1 ,y = π ; e mt o r n od oe i
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = e - x ,x = 0 ,y = π ; e mt o r n od oe i x
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = cos ⁡ π x 2 ,y = 0 ,0 ≤ x ≤ 1 ; e mt o r n