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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 41

Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44.

y = x 4 2 - 3 2 x 2 - x

Passo 1

Temos uma soma para derivar, por isso vamos usar a propriedade de soma da derivada:

y ' = f + g + h ' = f ' + g ' + h '

Obtemos:

y ' = x 4 2 - 3 2 x 2 - x '

Passo 2

Vamos começar derivando:

f ' = x 4 2 ' = 4 2 x 4 - 1

f ' = x 4 2 ' = 2 x 3

Passo 3

Derivando o segundo termo:

g ' = - 3 2 x 2 ' = - 3 2 ∙ 2 x 2 - 1

g ' = - 3 2 x 2 ' = - 3 x

Passo 4

Derivando o outro termo:

h ' = - x ' = - x 1 - 1 = - 1

Passo 5

Assim vamos ter:

y ' = f ' + g ' + h '

y ' = x 4 2 - 3 2 x 2 - x '

y ' = 2 x 3 - 3 x - 1

Essa é a derivada de ordem 1.

Passo 6

Agora vamos derivar novamente:

y ' ' = 2 x 3 - 3 x - 1 '

Seguindo os passos anteriores

y ' ' = 2 x 3 ' + - 3 x ' + - 1 '

y ' ' = 2 ∙ 3 x 3 - 1 + - 3 + 0

y ' ' = 2 ∙ 3 x 2 - 3

y ' ' = 6 x 2 - 3

Derivada de ordem 2.

Passo 7

Derivamdo mais uma vez:

y ' ' ' = 6 x 2 - 3 '

Seguindo os passos anteriores

y ' ' ' = 6 x 2 ' + - 3 '

y ' ' ' = 2 ∙ 6 x 2 - 1 + 0

y ' ' ' = 12 x

Essa é a derivada de ordem 3.

Passo 8

O que vamos fazer agora? Derivar mais uma vez:

y ' ' ' ' = 12 x '

Seguindo os passos anteriores

y ' ' ' ' = 12

Essa é a derivada de ordem 4.

Passo 9

Derivando mais uma vez:

y ' ' ' ' ' = 12 ' = 0

Essa é a derivada de ordem 5. A partir de ordem maiores, todas as derivadas vão ser iguais a zero.

Resposta

y ' = 2 x 3 - 3 x - 1

y ' ' = 6 x 2 - 3

y ' ' ' = 12 x

y ' ' ' ' = 12

y ( n ) = 0 ,   n ≥ 5

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