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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9e

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(x + 1)/(tg x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = x + 1

e

g (x) = tg x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((x + 1)/(tg x))^' = ((x + 1)^' * (tg x) - (x + 1) * (tg x) ')/((tg x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(tg (x))^' = sec^2 (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h^' (x) = (x + 1)^' = x^(1 - 1) + 0 = x^0 = 1

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g^' (x) = (tg x)^' = sec^2 (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((x + 1)/(tg x))^' = ((x + 1)^' * (tg x) - (x + 1) * (tg x) ')/((tg x)^2) = (1 * (tg x) - (x + 1) * sec^2 (x))/(tg^2 x) = (tg x - (x + 1) sec^2 (x))/(tg^2 x)

Resposta

f^' ( x ) = (tg x - (x + 1) sec^2 (x))/(tg^2 x)

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