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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7c

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

(3 x^2 + 3)/(5 x - 3)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = 3 x^2 + 3

e

g (x) = 5 x - 3

Vamos agora só montar na fórmula:

F^' (x) = ((3 x^2 + 3)/(5 x - 3))^' = ((3 x^2 + 3) ' * (5 x - 3) - (3 x^2 + 3) * (5 x - 3) ')/((5 x - 3)^2)

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio, da multiplicação por constante e da função constante:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(k f (x))^' = k f ' ( x )

(c)^' = 0

Assim:

f ' ( x ) = (3 x^2 + 3)^' = 3 * 2 * x^(2 - 1) + 0 = 6 x

Com g ' ( x ) vamos usar as mesmas regras:

g ' ( x ) = (5 x - 3)^' = 5 x^(1 - 1) - 0 = 5 x^0 = 5 * 1 = 5

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = ((3 x^2 + 3)/(5 x - 3))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((3 x^2 + 3) ' * (5 x - 3) - (3 x^2 + 3) * (5 x - 3) ')/((5 x - 3)^2) = (6 x * (5 x - 3) - (3 x^2 + 3) * 5)/((5 x - 3)^2) = (30 x^2 - 18 x - 15 x^2 - 15)/((5 x - 3)^2) = (15 x^2 - 18 x - 15)/((5 x - 3)^2)

Resposta

F^' (x) = (15 x^2 - 18 x - 15)/((5 x - 3)^2)

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