Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 52
Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.
Passo 1
A questão pede para provarmos que a derivada de uma função par é uma função ímpar e vice-versa, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos relembrar as definições de funções par e ímpar.
Uma função é par se , enquanto uma função é ímpar se . Basta aplicar a regra da cadeia nessas relações que resolvemos o problema!
Passo 2
Para o item (a), vamos aplicar a regra da cadeia na relação da função par:
Como , temos que
Essa é exatamente a relação que uma função ímpar deve satisfazer: é uma função ímpar!
Passo 3
Agora para o item (b), vamos proceder da mesma forma do item (a) mas partido da hipótese de que seja ímpar:
Portanto,
que é precisamente a relação que uma função par satisfaz. Vemos então que é par. Note que nos dois casos, a mudança de paridade acontece devido ao termo na regra da cadeia que muda o sinal das relações.
Resposta
Demonstração.