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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 17

Resolva as equações diferenciais nos Exercícios 9-22.

17-

d y d x = 2 x 1 - y 2   ,     - 1 < y < 1

Passo 1

Separando nossas variáveis e mantendo as parcelas d x e d y nos numeradores nós teremos:

d y 1 - y 2 = 2 x d x

Passo 2

Integrando os dois lados nós teremos:

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

A integral da direita não tem mistério, mas a da esquerda teremos que fazer uso da tabela para integrais de funções trigonométricas inversas que é.

a 2 - x 2   u t i l i z e   x = a s e n   u

a 2 + x 2   u t i l i z e   x = a t g   u

x 2 - a 2   u t i l i z e   x = a sec ⁡ u

Memorize essa tabela para sempre que se deparar com esses casos.

No caso vamos substituir y = s e n   u

Pois encontraremos:

d y = cos ⁡ u   d u

Aplicando a substituição e integrando o lado direito teremos:

∫ cos ⁡ u   d u 1 - s e n 2 u = 2 x 2 2 + c

Como cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1 da relação fundamental da trigonometria também podemos dizer que”

cos ⁡ u = 1 - s e n 2 u

Substituindo:

∫ cos ⁡ u cos ⁡ u   d u = x 2 + c

∫ d u = x 2 + c

u = x 2 + c

Como y = u   s e n   u logo u = sin - 1 ⁡ y

Logo:

sen - 1 ⁡ y = x 2 + c

Isolando y teremos:

y = s e n x 2 + c

Resposta

y = s e n x 2 + c

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