Admita que, para todo (x, y) .

x * (∂f/∂x)(x, y) - y * (∂f/∂y)(x, y) = 0.

Mostre que g(t) = f(t, 2/t), t > 0 é constante.

Passo 1

Para mostrar que g (t) é constante, basta mostrar que a derivada de g (t) resulta em zero.

g (t) = f (t , (2)/(t))

(g (t))^' = (f (t , (2)/(t)))^'

g^' (t) = (del f)/(del x) (t , (2)/(t)) * 1 + (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (- (2)/(t^2))

g^' (t) = (del f)/(del x) (t , (2)/(t)) - (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (2)/(t^2)

Precisamos arranjar uma forma para que a nossa g^' (t) fique parecida com

x (del f)/(del x) (x , y) - y (del f)/(del y) (x , y) = 0

Multiplicando t em ambos os lados da equação,

t * g^' (t) = t * ((del f)/(del x) (t , (2)/(t)) - (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (2)/(t^2))

t * g^' (t) = t * (del f)/(del x) (t , (2)/(t)) - (del f)/(del y) (t , (2)/(t)) * (2)/(t)

Agora que está parecido, podemos substituir,

t * g^' (t) = 0

g^' (t) = (0)/(t)

g^' (t) = 0

:. g (t) é constante.

Resposta

g (t) é constante.

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