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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 31a

Supondo que as funções diferenciáveis y = f ( x ) e z = z x ,   z > 0 , sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d y d x e d z d x .

a) x 2 + y 2 + z 2 = 4 x + y + z = 2

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que y = f ( x ) e z = z ( x ) são definidas pelas equações F x , y , z = 0 e G x , y , z = 0 . Assim,

F x , y , z = 0 G x , y , z = 0

Então, podemos reescrever a nossa equação como:

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4 G x , y , z = x + y + z - 2

Para obtermos as derivadas d y d x e d z d x vamos derivar F e G em relação a x . Usando a regra da cadeia, temos:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ G ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

∂ F ∂ y ⋅ d y d x + ∂ F ∂ z ⋅ d z d x = - ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y ⋅ d y d x + ∂ G ∂ z ⋅ d z d x = - ∂ G ∂ x

O sistema de equações lineares para as incógnitas d y d x e d z d x . Assim, nos pontos em que o detemrinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z - ∂ G ∂ x ∂ G ∂ z ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z ∂ G ∂ x ∂ G ∂ z ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z

d z d x = ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y - ∂ G ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y ∂ G ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z

Desse modo, as derivadas parciais de F e G são:

∂ F ∂ x = 2 x

∂ F ∂ y = 2 y

∂ F ∂ z = 2 z

∂ G ∂ x = 1

∂ G ∂ y = 1

∂ G ∂ z = 1

Passo 2

Assim, calculando a derivada d y d x :

d y d x = - 2 x 2 z 1 1 2 y 2 z 1 1 = - 2 x - 2 z 2 y - 2 z = - x + z y - z

Passo 3

Por fim, calculando a derivada d z d x :

d z d x = - 2 y 2 x 1 1 2 y 2 z 1 1 = - 2 y - 2 x 2 y - 2 z = - y + x y - z

Resposta

As derivadas são iguais a:

d y d x = - x + z y - z

d z d x = - y + x y - z

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Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 = z x + y = 4 Determinarb) Um par de funções y = y ( x ) e z = z ( x ) definidas i
Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 = z x + y = 4 Determinara) d y d x e d z d x .
Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 = z x + y = 4 Determinara) d y d x e d z d x .
3. Expresse d z d t em termos das derivadas parciais, sendo z = f x , y e b) x = sen ⁡ 3 t e y = cos ⁡ 2 t
Expresse a implicitamente como uma função de A, b e B e calcule ∂a/∂A e ∂a/∂B