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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 8

Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2 x + 3 y e tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + x y .

Passo 1

A equação do plano tangente é dada por

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto genérico onde o plano tangencia a função.

Calculando as derivadas

f x = 2 x + y

f y = x

No ponto genérico x 0 , y 0

f x x 0 , y 0 = 2 x 0 + y 0

f y x 0 , y 0 = x 0

f x 0 , y 0 = x 0 2 + x 0 y 0

Substituindo na equação do plano

z - x 0 2 - x 0 y 0 = 2 x 0 + y 0 x - x 0 + x 0 ( y - y 0 )

z - x 0 2 - x 0 y 0 = 2 x 0 + y 0 x + x 0 y - 2 x 0 2 - x 0 y 0 - x 0 y 0

2 x 0 + y 0 x + x 0 y - z = x 0 2 + x 0 y 0

Passo 2

Para que dois planos sejam paralelos, suas normais devem ter a mesma direção, ou seja, um vetor precisa ser múltiplo do outro.

O plano dado tem normal 2,3 , - 1 e o nosso plano tem normal 2 x 0 + y 0 , x 0 , - 1 , na igualdade

2 x 0 + y 0 , x 0 , - 1 = λ 2,3 , - 1

E tiramos o sistema

2 x 0 + y 0 = 2 λ x 0 = 3 λ - 1 = - λ

Da terceira equação tiramos

λ = 1

Na segunda equação

x 0 = 3

Substituindo na primeira equação

6 + y 0 = 2

y 0 = - 4

Na equação do plano

2 x + 3 y - z = 9 - 12

2 x + 3 y - z = - 3

Resposta

2 x + 3 y - z = - 3

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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = x e x y ,( 2 ,0 ,2 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ,( 2 ,3 )
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = ln ⁡ ( x - 2 y ) ,( 3 ,1 ,0 )
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,( 2 ,- 1 ,- 3 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = y + s e nx y ,( 0 ,3 )