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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 35

Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.

Encontre a área da superfície gerada quando a curva paramétrica x = t , y = 2 t 2 ( 0 ≤ t ≤ 1 ) gira em torno do eixo y .

Passo 1

De acordo com os exercícios, a fórmulinha para achar essa área da superfície, que a gente tem quando gira a curva em torno de y , é:

S = ∫ a b 2 π x t x ' t 2 + y ' t 2 d t

Só precisamos montar essa integral e calcular. Vem comigo!

Passo 2

Pelo enunciado, vemos que:

a = 0

b = 1

Calculando as derivadas das funções:

x t = t

x ' t = 1

y t = 2 t 2

y ' t = 4 t

Substituindo essas coisinhas na fórmula, nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 0 1 t 16 t 2 + 1   d t

Passo 3

Agora é calcular. Vamos usar a substituição:

u = 16 t 2 + 1

d u d x = 16 t ∴ d u 16 t = d x

Calculando os novos extremos de integração:

u 1 = 16 ⋅ 0 + 1 = 1

u 2 = 16 ⋅ 1 2 + 1 = 17

Aí a nossa integral fica:

S = 2 π ∫ 1 17 u 1 2 16 d u = 4 π 48 17 3 2 - 1 = π 24 17 17 - 1

Resposta

S = π 24 17 17 - 1

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