Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 35
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Vamos macetar mais uma juntinhos??
Para encontrar o limite
Vamos primeiro analisar a forma do limite à medida que .
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a
Portanto, estamos lidando com a forma , o que sugere que a regra de L'Hôpital pode ser aplicada.
A regra de L'Hôpital nos diz para tomar as derivadas do numerador e do denominador:
Passo 2
Calculamos as derivadas:
- A derivada de é
- A derivada de é
Portanto, aplicando a regra de L'Hôpital, temos:
Agora, avaliamos a expressão à medida que
Aqui, observamos que então precisamos aplicar a regra de L'Hôpital novamente porque ainda estamos na forma .
Passo 3
Tomamos as derivadas novamente:
- A derivada de é
- A derivada de é
Portanto, temos:
Agora, avaliamos a expressão à medida que
Passo 4
Sabemos que então:
Portanto, o limite é:
A aplicação da regra de L'Hôpital foi apropriada aqui e nos levou ao resultado final de forma clara e direta.