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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 29

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 → 1 - cos ⁡ 0 0 2 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ 0 - - sen ⁡ x 2 x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x → sen ⁡ 0 2 . 0 → 0 0

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 x 1 - 1 = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 = cos ⁡ 0 2 = 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 1 2

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 +c o s s e c x - c o t g x + c o s x