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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 7

A altura (em metros) de um projétil lançado verticalmente para cima de um ponto a 2 m acima do nível do solo com velocidade inicial de 24,5 m/s é h = 2 + 24,5 t - 4,9 t ² após t segundos. (a) Encontre a velocidade após 2 s e após 4 s. (b) Quando o projétil alcança sua altura máxima? (c) Qual é a altura máxima? (d) Quando ele atinge o solo? (e) Com qual velocidade ele atinge o solo?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... a questão nos dá a seguinte expressão que mostra a altura h (em metros) de um projétil em função do tempo t (em segundos) após o disparo:

h = 2 + 24,5 t - 4,9 t ²

A questão quer saber a velocidade v após 2 e 4 segundos, a altura máxima e seu tempo, o tempo em que o projétil atinge o solo e sua velocidade nesse momento.

Para a gente resolver tudo isso temos que saber que a velocidade do projétil lançado verticalmente é dada pela derivada de h em relação ao tempo, ou seja, v ( t ) = h ' :

v ( t ) = 24,5 - 9,8 t

Agora vamos responder cada letrinha!! 😉

Passo 2

a) Velocidade após 2 s:

v 2 = 24,5 - 9,8 ∙ 2 ∴

v 2 = 4,9   m / s

Velocidade após 4s:

v 4 = 24,5 - 9,8 ∙ 4 ∴

v 4 = - 14,7   m / s

Passo 3

b) O projétil irá alcançar a sua altura máxima quando a velocidade for igual a zero, ou seja:

v t = 24,5 - 9,8 t = 0

Agora isolamos t para descobrir quando a altura é máxima:

24,5 = 9,8 t ∴

t = 24,5 9,8 ∴

t = 2,5   s

Passo 4

c) A altura máxima, é a altura que o projétil atinge em t = 2,5   s .

h 2,5 = 2 + 24,5 ∙ 2,5 - 4,9 ∙ 2,5 2 ∴

h 2,5 = 32,625   m

Passo 5

d) O projétil atinge o solo quando h = 0 .

h = 0 = 2 + 24,5 t - 4,9 t 2

Temos uma equação do segundo grau, para encontrar o tempo no qual o projétil atinge o solo precisamos calcular Bhaskara:

a = - 4,9   ; b = 24,5   ; c = 2

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t = - 24,5 ± ( 24,5 ) 2 - 4 ∙ ( - 4,9 ) ∙ 2 2 ∙ ( - 4,9 )

t = - 24,5 ± 639,45 - 9,8 = - 24,5 - 9,8 ± 25,287 - 9,8 = 2,5 ± 2,58

t 1 = 5,08   s

t 2 = - 0,08   s

Como não existe tempo negativo, o tempo para atingir o solo é t = 5,08   s

Passo 6

e) O tempo no qual o projétil atinge o solo é t = 5,08   s , então a velocidade do projétil ao atingir o solo é:

v 5,08 = 24,5 - 9,8 ∙ 5,08 ∴

v 5,08 = - 25,3   m / s

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

a) t = 2 s : v = 4,9   m / s

t = 4 s : v = - 14,7   m / s

b) t = 2,5   s

c) h = 32,625   m

d) t = 5,08   s

e) v = - 25,3   m / s

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