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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 59

Um aluno que está estudando uma língua estrangeira tem 50 verbos para serem memorizados. A taxa segundo a qual o estudante pode memorizar esses verbos é proporcional ao número de verbos que restam a ser memorizados, isto é, se o estudante memoriza y verbos em t min

d y d t = k ( 50 - y )

Suponha que inicialmente nenhum verbo tenha sido memorizado e que nos primeiros 30 min 20 verbos foram memorizados. Quantos verbos serão memorizados em (a) 1 hora e (b) 2 horas? (c) Após quantas horas restará apenas um verbo para ser memorizado?

Passo 1

Temos a equação descrevendo y com o tempo e temos algumas condições iniciais, precisamos deixar a equação mais simples e então calculamos o que os itens pedem, show?

Passo 2

Vamos organizar uma tabelinha com as condições iniciais.

Certo? Em t = 0 nenhum verbo foi memorizado, nos primeiro 30 min, foram 20 verbos e depois precisamos calcular o tempo T para que reste 1 verbo, ou seja, 49 terão sido memorizados.

Passo 3

Agora, olhando para a equação

d y d t = k ( 50 - y )

Mudando quem tem y para um lado e o d t para o outro...

d y ( 50 - y ) = k d t

Podemos integrar dos dois lados

∫ d y ( 50 - y ) = ∫ k d t

- ln ⁡ 50 - y . l n ⁡ ( C ) = k t

ln ⁡ 50 - y = - k t l n ⁡ ( C )

Colocando e elevado aos dois lados:

50 - y = C e - k t

y = 50 - C e - k t

Passo 4

Vamos achar C e k :

Como em t = 0 , y = 0

0 = 50 - C

C = 50

y = 50 - 50 e - k t

Para t = 1   h o r a = 60   m i n

20 = 50 - 50 e - k 30

- 30 = - 50 e - k 30

e - k 30 = 0,6

Tirando l n dos dois lados

- k 30 = - 0,51

k = 0,017

Passo 5

Agora podemos calcular o item a)

Para t = 1   h o r a s = 60   m i n

y = 50 - 50 e - 0,017 t

y = 50 - 50 e - 0,017.60

y = 31,97 ≅ 32   v e r b o s

Passo 6

O item b) pede após 2 horas ou 120 min

y = 50 - 50 e - 0,017 t

y = 50 - 50 e - 0,017.120

y = 43,5   v e r b o s

Passo 7

O item c) pede o tempo para que y = 49

y = 50 - 50 e - 0,017 t

49 = 50 - 50 e - 0,017 t

- 1 = - 50 e - 0,017 t

e - 0,017 t = 1 50

Tirando l n dos dois lados:

- 0,017 t = l n 1 50

t = 230   m i n u t o s = 3,83   h o r a s

Com calma tudo deu certo

Resposta

a) y = 32   v e r b o s

b)   y = 43,5   v e r b o s

c)   t = 3,83   h o r a s

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