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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 36

Calcule a integral definida

int_(1 // 3)^(1 // 2) (4 x^(- 3) + 2)/(x^(- 2) - x) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

int a^x d x = (a^x)/(ln a)

Propriedade da exponencial

a^b = e^(b ln (a))

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Primeiro vamos expandir nossa função

(4 x^(- 3) + 2)/(x^(- 2) - x) : (4 x^(- 3))/(x^(- 2) - x) + (2)/(x^(- 2) - x)

Onde podemos expandir mais

(4 x^(- 3))/(x^(- 2) - x) = 4 ((1)/(x) . (1)/(1 - x ³)) = 4 ((1)/(x) + (x^2)/(1 - x^3))

(2)/(x^(- 2) - x) = 2 ((x^2)/(1 - x^3))

Assim nossa integração fica :

int_(1 // 3)^(1 // 2) (4 x^(- 3) + 2)/(x^(- 2) - x) d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) (4 ((1)/(x) + (x^2)/(1 - x^3)) + 2 ((x^2)/(1 - x^3))) d x

= 4 int_(1 // 3)^(1 // 2) (1)/(x) d x + 6 int_(1 // 3)^(1 // 2) (x^2)/(1 - x^3) d x

= (4 ln x|_(x = (1)/(3))^((1)/(2)) + 6 int_(1 // 3)^(1 // 2) (x^2)/(1 - x^3) d x

Passo 3

Calculando a segunda integral

Fazendo por substituição

u = 1 -x³

du = -3x² dx

Lembrando que quero retornar para os valores de x, logo em u fazemos uma integral indefinida , e plotamos depois o limites de x. Entao Temos que :

6 int_((1)/(3))^((1)/(2)) (x^2)/(1 - x^3) d x = 6 int_()^() - (1)/(3) (1)/(u) d u

= - 2 l n u

= (- 2 ln (1 - x ³)|_(x = (1)/(3))^((1)/(2))

Passo 4

Aplicando os limites de integração à nossa função :

(4 ln x|_(x = (1)/(3))^((1)/(2)) (- 2 ln (1 - x ³)|_(x = (1)/(3))^((1)/(2)) = 4 ( ln 1 // 2 - l n 1 // 3 ) - 2 ( ln (1 - 1 // 8) - ln ( 1 - 1 // 27 ) )

Após simplificar temos :

4 (- ln (2) + ln (3)) - 2 (ln ((7)/(8)) - ln ((26)/(27)))

Resposta

int_(1 // 3)^(1 // 2) (4 x^(- 3) + 2)/(x^(- 2) - x) d x = 4 (- ln (2) + ln (3)) - 2 (ln ((7)/(8)) - ln ((26)/(27)))

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