Calcule a integral definida

∫ 1 / 3 1 / 2 4 x - 3 + 2 x - 2 - x   d x    

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

∫ a x d x = a x ln ⁡ a

Propriedade da exponencial

a b = e b ln ⁡ a

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Primeiro vamos expandir nossa função

4 x - 3 + 2 x - 2 - x :   4 x - 3 x - 2 - x + 2 x - 2 - x

Onde podemos expandir mais

4 x - 3 x - 2 - x   =   4   1 x   . 1 1 - x ³ = 4 1 x + x 2 1 - x 3  

2 x - 2 - x = 2   x 2 1 - x 3

Assim nossa integração fica :

∫ 1 / 3 1 / 2 4 x - 3 + 2 x - 2 - x   d x   =   ∫ 1 / 3 1 / 2 4 1 x + x 2 1 - x 3 +   2   x 2 1 - x 3   d x    

= 4 ∫ 1 / 3 1 / 2 1 x   d x + 6 ∫ 1 / 3 1 / 2 x 2 1 - x 3   d x  

= 4   ln ⁡ x x = 1 3 1 2 + 6 ∫ 1 / 3 1 / 2 x 2 1 - x 3   d x

Passo 3

Calculando a segunda integral

Fazendo por substituição

u = 1 -x³

du = -3x² dx

Lembrando que quero retornar para os valores de x, logo em u fazemos uma integral indefinida , e plotamos depois o limites de x. Entao Temos que :

6 ∫ 1 3 1 2 x 2 1 - x 3   d x =   6 ∫ - 1 3 1 u     d u

=   - 2   l n u

=   - 2 ln ⁡ 1 - x ³ x = 1 3 1 2    

Passo 4

Aplicando os limites de integração à nossa função :

4   ln ⁡ x x = 1 3 1 2   - 2 ln ⁡ 1 - x ³ x = 1 3 1 2     = 4 ( ln ⁡ 1 / 2 - l n 1 / 3 ) - 2 ( ln ⁡ 1 - 1 / 8 - ln ⁡ ( 1 - 1 / 27 ) )        

Após simplificar temos :

4 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 7 8 - ln ⁡ 26 27  

Resposta

∫ 1 / 3 1 / 2 4 x - 3 + 2 x - 2 - x   d x   = 4 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 7 8 - ln ⁡ 26 27  

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