Enunciado

Analise as funções trigonométricas f nos intervalos especificados indicando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Verifique se seus resultados estão em conformidade com o gráfico de f gerado por algum recurso computacional.

33. f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x ,   [ - π ,   π ]

Passo 1

Peguemos o gráfico da função, dentro do intervalo pedido, pra já termos uma melhor ideia dos nossos resultados:

Passo 2

f vai ser crescente entre os pontos de mínimo e os pontos de máximo, nesta ordem, necessariamente. Pra determiná-los, precisamos derivar a função e igualar a derivada a zero.

Temos:

f ' x = cos ⁡ x   + sen ⁡ x

Igualando a zero, vamos ter:

cos ⁡ x   + sen ⁡ x = 0

∴ cos ⁡ x   = - sen ⁡ x

Do ciclo trigonométrico, essa correlação vai ocorrer no ângulo de 135 ° = 3 π 4 e em todos os arcos que distem k ∙ π desse ângulo ( k é um número inteiro qualquer). Dá uma conferida, certeza que você vai relembrar e entender bem!

Pelo gráfico, verificamos que a função tem um ponto de máximo aproximadamente perto de x = 2 . Esse ponto corresponde justamente a x = 3 π 4 ≅ 2,36 .

Como nos interessa o ponto de mínimo, basta subtrairmos π desse ponto, já que as funções seno e cosseno (mesmo compostas) originalmente têm como período o valor de 2 π . Assim, a distância entre uma crista e um vale, meio período, equivale a π ≅ 3,14 .

Temos:

x m í n = 3 π 4 - π = 3 π - 4 π 4

x m í n = - π 4 ≅ 0,79

Assim, o intervalo em que a função é crescente será:

- π 4 , 3 π 4  

Passo 3

Como estamos restritos ao intervalo [ - π ,   π ] , e vemos pelo gráfico que, desde – π a função decresce. Logo, ela vai ser decrescente desde x = - π até o ponto de mínimo, em x = - π / 4 , e também a partir do ponto de máximo, em x = 3 π 4 até x = π . Teremos como o intervalo em que a função decresce:

- π ,   - π 4 ∪ 3 π 4 ,   π

Passo 4

Pra verificar os intervalos de concavidade voltada pra cima e pra baixo, precisamos dos pontos de inflexão, que se determinam quando igualamos a derivada segunda da função a zero.

Temos:

f ' ' x = - sen ⁡ x + cos ⁡ x

Igualando a zero, vamos ter:

- sen ⁡ x + cos ⁡ x = 0

∴ sen ⁡ x = cos ⁡ x

Do ciclo trigonométrico, essa correlação ocorre no ângulo de 45 ° = π 4 e em todos os arcos que distam k ∙ π desse ângulo.

No intervalo em que estamos restritos, observamos dois pontos de inflexão, que também distam π um do outro. O primeiro, com coordenada x negativa equivalerá ao ponto de inflexão π / 4 subtraído de π :

π 4 - π = - 3 π 4

Assim já temos as coordenadas dos pontos de inflexão, em x = - 3 π 4 e em x = π 4

Passo 5

Observando pelo gráfico, a função, desde x = - π é côncava pra baixo, e assim será até o primeiro ponto de inflexão em x = - 3 π 4 .

Nisso, ela passa a ser côncava pra cima, até o segundo ponto de inflexão, em x = π 4 .

Logo em seguida, retorna à concavidade voltada pra baixo.

Sintetizando isso em intervalos, vamos ter:

Concavidade voltada pra baixo:

- π ,   - 3 π 4 ∪ π 4 ,   π

Concavidade voltada pra cima:

- 3 π 4 ,   π 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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