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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14e

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x = x 2 e x  

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x = x 2 e x . 1 + 2 x . e x = x 2 e x + 2 x e x

f ' ' x =   x 2 e x . 1 + 2 x . e x + 2 x e x . 1 + 2 . e x = x 2 e x + 4 x e x + 2 e x

Fazendo f ' ' x > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

x 2 e x + 4 x e x + 2 e x > 0 ⇒ e x 1 x 2 + 4 x + 2 > 0 ⇒ x 2 + 4 x + 2 > 0 ⇒

⇒ x 1 < - 2 - 2     e     x 2 > - 2 + 2

Na união dos intervalos, em - ∞ , - 2 - 2 ∪ ( - 2 + 2 ,   + ∞ ) ,   f ' ' x > 0 ⇒ A função é côncava para cima.

E na intersecção dos intervalos, em - 2 - 2 ,   - 2 + 2     ,   f ' ' x < 0 ⇒ A função é côncava para baixo.

Passo 2

Nos pontos x = - 2 ± 2 , a função muda sua concavidade, logo são pontos de inflexão.

- 2 ± 2 , f - 2 ± 2   s ã o   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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