Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14g

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f t = t 2 + 9 t - 3 2

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' t = 2 t .   t - 3 2 - 2 ( t - 3 ) ( t 2 + 9 ) t - 3 4 = t - 3 t - 3 . 2 t - 2 t 2 + 9 t - 3 4 =

= 2 t 2 - 6 t - 2 t 2 - 18 t - 3 3 = - 6 t - 18 t - 3 3

f ' ' t = t - 3 3 - 6 - 3 t - 3 2 ( - 6 t - 18 ) t - 3 6 = t - 3 2 [ t - 3 - 6 - 3 ( - 6 t - 18 ) t - 3 6 =

=   - 6 t + 18 + 18 t + 54 t - 3 4 = 12 t + 72 t - 3 4

Fazendo f ' ' t > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

12 t + 72 t - 3 4 > 0 ⇒ 12 t + 72 > 0 ⇒ 12 t > - 72 ⇒ t > - 6

Em - 6 , + ∞ ⇒ A função é côncava para cima.

Em - ∞ ,   - 6 ⇒ A função é côncava para baixo.

Passo 2

No ponto t = - 6 a função muda sua concavidade, logo este é um ponto de inflexão.

- 6 , f - 6   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e
Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e
Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e
Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e
Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e