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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14i

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x = 2 x - x 2 ,     x < 1 x ,                                           x ≥ 1

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x = 2 - 2 x ,     x < 1 1 ,                                         x > 1

f ' ' x = - 2 ,     x < 1 0 ,                         x > 1

Para f ' ' x > 0 , não temos valores.

Para f ' ' x < 0 ,   x ∈ - ∞ ,   1 ⇒ f é côncava para baixo neste intervalo

Passo 2

Como a função não muda sua concavidade, ela não possui pontos de inflexão.

∄   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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