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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 33

Utilize coordenadas esféricas.

  1. Determine o centroide de um hemisfério sólido homogêneo de raio a .
  2. Determine o momento de inércia do sólido da parte a) com relação a um diâmetro de sua base.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo certo?

Nossa questãozinha tem duas partes:

A parte a) pede o centroide de um hemisfério sólido de raio a . Num sólido de homogêneo, o centro de massa e o centroide são iguais:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Usando as integrais dos momentos em torno de cada eixo:

M y z = ∭ E x   ρ   d V

M x z = ∭ E y   ρ   d V

M x y = ∭ E z   ρ   d V

E o valor da massa m do sólido:

m = ∫ ∫ ∫ ρ d V

Então precisamos achar os limites de integração em coordenadas esféricas para encontrarmos nossos valores procurados.

A parte b) pede o momento de inércia do sólido da parte a) com relação a um diâmetro de sua base.

I x = ∫ ∫ ∫ E   y 2 + z 2 ρ d V

Usando os mesmos limites do passo a), vamos calcular essa integral!

Vamos lá!

Passo 2

  1. Determine o centroide de um hemisfério sólido homogêneo de raio a

    2. Como temos um hemisfério sólido homogêneo, a função densidade é dada por:

    ρ = K

    Sabemos que um hemisfério é metade de uma esfera, então sua massa é dada por:

    m = 2 3 π r 3 ( K )

    Devido a simetria do sólido em estudo, temos que os momentos de massa com relação aos eixos x e y serão iguais a zero:

    M y z = M x z = 0

    Dessa forma, nos resta calcular o momento de massa com relação ao eixo z , que é dado por:

    M x y = ∫ ∫ ∫ E   z ρ d V

    Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

    x = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   y = ρ s e n   ϕ   s e n   θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ ,   x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

    Através dos limites de integração e das relações de transformação para coordenadas esféricas apresentadas acima, podemos reescrever a integral como:

    M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ 3 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    Passo 3

    Agora vamos calcular a integral!

    Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:

    K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 a ρ 3 d ρ

    Sabemos que as integrais com formato:

    ∫ s e n x θ c o s ⁡ θ

    São resolvidas por substituição, fazendo u = s e n   θ → d u = c o s θ e a integral se torna:

    ∫ u x d u = u x + 1 x + 1 = s e n x θ x + 1

    Nesse caso, temos x = 1 , então, resolvendo a integral, temos:

    ∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 1 2 s e n 2 ϕ 0 π / 2

    E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:

    M x y = K θ 0 2 π 1 2 s e n 2 ϕ 0 π / 2 1 4 ρ 4 0 a

    Aplicando os limites de integração:

    M x y = K 2 π - 0 1 2 1 2 - 1 2 ( 0 ) 1 4 a 4 - 1 4 0 4

    Simplificando:

    M x y = 1 4 K π a 4

    Dessa forma, o centroide é dado por:

    x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

    Substituindo os valores que encontramos:

    x - , y - , z - = 0 2 3 π r 3 ( K ) , 0 2 3 π r 3 ( K ) , 1 4 K π a 4 2 3 π r 3 ( K )  

    Ficamos finalmente com:

    x - , y - , z - = 0,0 , 3 a 8

    Passo 4

  2. Encontre o momento de inércia do sólido da parte a) com relação a um diâmetro de sua base.

Iremos posicionar o centro da base na origem ( 0,0 , 0 ) para facilitar os cálculos, e devido a simetria do sólido, os momentos de inércia sob quaisquer um dos dois eixos com relação ao diâmetro serão iguais, sendo assim, podemos calcular:

I x = ∫ ∫ ∫ E   y 2 + z 2 ρ d V

Substituindo as relações de transformação do passo 1 e aplicando os intervalos de integração, temos:

I x = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ s e n   ϕ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ ϕ 2 ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

I x = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ 2 s e n 2 ϕ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

I x = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ 4 ( s e n 3 ϕ s e n 2 θ + s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ ) d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Iremos resolver essa integral de maneira iterada, começando com ρ , temos:

I x = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ( s e n 3 ϕ s e n 2 θ + s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ ) d ϕ d θ 1 5 ρ 5 0 a  

I x = 1 5 a 5 K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ s e n 2 θ + s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ  

Sabemos que as integrais com formato:

∫ cos x ⁡ θ s e n ⁡ θ

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s   θ → d u = - s e n   θ e a integral se torna:

∫ - u x d u = - u x + 1 x + 1 = - cos x ⁡ θ x + 1

Nesse caso, temos x = 2 , então, resolvendo a integral, temos:

∫ 0 π 2 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 2

Agora, resolvendo a integral para ϕ , temos:

I x = 1 5 a 5 K ∫ 0 2 π s e n 2 θ - c o s ϕ + 1 3 cos 3 ⁡ ϕ + - 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 2 d θ

= 1 5 a 5 K ∫ 0 2 π s e n 2 θ - 0 + 1 3 0 3 - 1 3 0 3 - s e n 2 θ - 1 + 1 3 1 3 - 1 3 1 3 d θ

E, simplificando a expressão, temos:

I x = 1 5 a 5 K ∫ 0 2 π 2 3 s e n 2 θ + 1 3   d θ

E, finalmente, integrando para θ :

I x = 1 5 a 5 K 2 3 1 2 θ - 1 4 s e n   2 θ + 1 3 θ 0 2 π

= 1 5 a 5 K 2 3 1 2 2 π - 1 4 0 + 1 3 2 π - 2 3 0 - 0 + 0

Simplificando a expressão para I x , obtemos:

I x = 4 15 π a 5 K

Resposta

x - , y - , z - = 0,0 , 3 a 8

I x = 4 15 π a 5 K

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Use coordenadas esféricas.Calcule o valor de ∭ E x 2 + y 2 + z 2 d V Onde E fica acima do cone z = x 2 + y 2 e entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Use coordenadas esféricas.Calcule ∭ E x e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E é a porção da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
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Use coordenadas esféricas.Encontre o centroide do sólido do Exemplo 4 (assuma densidade constante K ). Encontre o momento de inércia ao redor do eixo z para esse sólido.
Use coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde é E fica entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 .