Encontre a massa e centro de massa de um hemisfério sólido com raio se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base.

Bom, vamos começar vendo um esboço do nosso sólido.

Ele é a parte de cima de uma esfera centrada na origem e de raio :

Essa base que a questão fala coincide com o plano ! É o plano quadriculado nessa figura.

Então a distância de um ponto qualquer pra essa base vai ser a altura do ponto, ou seja, sua coordenada . Assim:

Para definir o nosso sólido com coordenadas polares, vamos usar as definições de cada uma das variáveis polares.

O é a distância de um ponto até a origem. Como estamos em uma esfera de raio centrada na origem:

O é a angulação entre a reta que liga o ponto e a origem e o eixo . Na prática, se o ponto está na parte positiva de e se está na parte negativa. No nosso caso, pegamos todos os pontos da esfera na parte positiva de , então:

Por último, para vermos o , a gente olha a projeção do sólido no plano , que vai ser um disco de raio :

Esse é o mesmo do sistema de coordenadas polares. Como a projeção no plano é o disco inteiro:

A gente não pode esquecer que sempre que fizermos uma mudança de variáveis, precisamos incluir o jacobiano! Nesse caso, .

Nos próximos passos, vamos transformar todas as integrais em integrais nesse sistema de coordenadas. Os limites de integração, então, vão ser:

Vamos começar as contas!

Para o cálculo de :

Passando para coordenadas esféricas:

A gente vai integrar de dentro pra fora.

Começando em função de , considerando e constantes:

Como o integrando todo só depende de e , ele pode sair dessa primeira integral:

Depois, vamos integrar em função de , mantendo constante:

O termo é uma constante e pode sair da integral inteira. Já é constante em função de e sai dessa integral. Fica assim:

Vamos mexer um pouco com esse integrando. Pela fórmula de , temos:

Então:

E como a primitiva de é :

Como e :

E por último integramos em função de :

Agora vamos calcular as coordenadas do centro de massa. Começando com :

Em coordenadas esféricas:

Vamos arrumar um pouco essa integral antes de começar a integrar. Como é constante, ele sai da integral. E vamos juntar os termos que dependem de cada variável:

Agora vamos começar a integrar, em função de , com e constantes:

Como é constante, pode sair dessa primeira integral:

Só que , então a diferença entre os dois vai dar zero:

Agora vamos calcular o , que vai acontecer alguma coisa parecida...

Em coordenadas esféricas:

Da mesma forma que arrumamos a última integral, essa fica assim:

Jogando pra fora da primeira integral, pra integrarmos em função de :

De novo, como :

Por último, o (não se anima que esse não vai dar zero 😪):

Mudando pra coordenadas esféricas:

Arrumando:

Primeiro integrando em função de , com e constantes. Vamos tirar o integrando todo dessa primeira integral porque não depende de :

Agora, vamos integrar em função de , com constante. Então podemos tirar dessa integral e da integral toda:

Vamos fazer uma substituição :

Então:

Integrando em função de :

Pra terminar, integramos em função de . Podemos tirar o da integral:

Ou seja,