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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 42

Uma antena de radar está localizada num navio a 16   k m   de uma praia reta e está girando com 32   r p m . Com que velocidade o feixe do radar estará percorrendo a praia quando feixe formar um ângulo de 45 ° com a praia?

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Aqui estamos lidando com radar varrendo uma praia, o radar está a 16   k m da praia, e ele gira a uma taxa de 32   r p m . O que queremos é a velocidade do avião quando o ângulo for π 4   r a d .

Passo 3

Agora é hora do desenho lindo :3

Passo 4

Uma relação muito interessante para se usar aqui é a da tangente, pois temos o cateto oposto ao ângulo e queremos a variação do cateto adjacente, d s d t = v . Olhando o desenho mais simplificado fica mais fácil de entender

tan ⁡ θ = 16 s

Passo 5

Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas

tan ⁡ θ = 16 s

Derivando implicitamente em relação a t , pois o ângulo e a distância s variam com o tempo.

d d t tan ⁡ θ = d d t 16 s ⇒ sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ d t = - 16 s 2 ⋅ d s d t ⇒ d s d t = - sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ d t 16 s 2

Antes de substituirmos os valores precisamos encontrar o valor inicial de s para isso iremos usar as informações dadas na questão:

tan ⁡ π 4 = 16 s ⇒ 1 = 16 s ⇒ s = 16  

Pra encontrarmos a variação de do angula vamos olha pra informação que a antena da 32 voltas por minuto, uma volta equivale a 2 π   r a d , e a antena da 32 em um minuto, logo a velocidade angula será de.

d θ d t = 32 ⋅ 2 π / m i n = 64 π   r a d / m i n

Substituindo os valores:

⇒ d s d t = - sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ d t 16 s 2 = - sec 2 ⁡ π 4 ⋅ 64 π 16 16 2 = - 2 ⋅ 64 π 1 16 = - 2048 π

Eita é bem rápido.

Como as unidades estavam em quilômetros e minutos a resposta será dada em quilômetros e minutos

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d s d t = - 2048 π   k m / m i n

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