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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 5

Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t.

5 )   S e   s e n ²   x + cos ² ⁡ y = 5 4     e d x d t = - 1 ,   a c h e d x d t     e m   ( 2 π 3 , 3 π 4 ) .

Passo 1

Para começar, vamos derivar a função:

s e n ²   x + cos ² ⁡ y = 5 4

Como x e y estão em função de t, nós usamos a Regra da Cadeia:

2 . s e n   x . cos ⁡ x . d x d t - 2 . s e n   y . cos ⁡ y d y d t = 0

Usando a identidade:

s e n   2 x = 2 . s e n   x . cos ⁡ x

s e n   2 x . d x d t = s e n   2 y d y d t

Substituindo d x d t   :

- s e n   2 x = s e n   2 y d y d t

Quando x = 2 π 3   e   y = 3 π 4 :

- s e n   4 π 3 = s e n   3 π 2 d y d t

3 2 = - 1 d y d t

Então:

d y d t = - 3 2

Resposta

d y d t = - 3 2

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