Prove:

b ) underset(X -> P)(lim) F (X) = L harr underset(X -> P)(lim) ||F (X) - L|| = 0 .

Passo 1

Vamos considerar F : A sub R^n -> R^m e P sendo um ponto de acumulação de A .

Temos que:

underset(X -> P)(lim) F (x) = L harr AA epsilon > 0 , EE delta > 0

Pela definição de limite...

Tal que AA X in A temos:

0 < ||X - P|| < delta -> ||F (X) - L|| < epsilon

Porém, a gente também sabe que:

||F (X) - L|| = |||F (X) - L|| - 0|

Logo,

AA epsilon > 0 , EE delta > 0 , tal que AA X in A , 0 < ||X - P|| < delta -> |||F (X) - L|| - 0| < epsilon

Ou seja:

underset(X -> P)(lim) ||F (X) - L|| = 0

Como queríamos mostrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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